\fuxiti
\begin{xiaotis}
\begin{enhancedline}

\xiaoti{已知角 $\alpha$ 的终边分别经过下列各点，求角 $\alpha$ 的四个三角函数值。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$(-8,\; 6)$；} & \xxt{$(5,\; \sqrt{7})$；} \\
        \xxt{$(-\sqrt{2},\; \sqrt{3})$；} & \xxt{$\left(0,\; \exdfrac{2}{3}\right)$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{在直角三角形 $ABC$ 中，角 $C$ 为直角，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高。
    分别写出等于角 $A$ 的正弦、余弦、正切的线段的比。这样的比有多少个？
}


\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\tan^2{150^\circ} + 2\sin{60^\circ} + \tan{45^\circ} \sin{90^\circ} - \tan{60^\circ} + \cos^2{30^\circ}$；}

    \xxt{$\cos{60^\circ} - \sin^2{135^\circ} + \exdfrac{3}{4}\tan^2{30^\circ} + \cos^2{30^\circ} - \sin{30^\circ}$；}

    \xxt{$\dfrac{\sin{90^\circ}}{\tan{45^\circ} - \sin{120^\circ}}$；}

    \xxt{$\dfrac{\tan{30^\circ} \cos{135^\circ} \sin{60^\circ}}{\cot{120^\circ} \sin{150^\circ}}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列三角函数值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\sin{162^\circ21'} \nsep \cos{103^\circ16'} \nsep \tan{93^\circ53'} \nsep \cot{145^\circ3'}$；}

    \xxt{$\sin{109^\circ43'} \nsep \cos{167^\circ4'} \nsep \tan{151^\circ32'} \nsep \cot{100^\circ32'}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求适合下列各式的三角形的内角 $\alpha \; (0^\circ < \alpha < 180^\circ)$：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \nsep \cos\alpha = -0.6581 \nsep \tan\alpha = 35.43$；}

    \xxt{$\sin\alpha = \sin{15^\circ} \nsep \cos\alpha = -\cos{45^\circ} \nsep -\cot\alpha = \cot{115^\circ}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{设 $A$，$B$，$C$ 是一个三角形的三个内角，求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\sin{\dfrac{A + B}{2}} = \cos{\exdfrac{C}{2}}$；}

    \xxt{$\tan{\dfrac{B + C}{2} = \cot{\exdfrac{A}{2}}}$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽 $2.0$ 米，坡度由原来的 $1:2$ 改成 $1:2.5$。
    已知原背水坡长 $BD = 13.4$ 米，坝长 $90$ 米，求完成这一工程需多少方土（保留两个有效数字）。
}


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch15-fuxi15-7}
    \caption*{（第 7 题）}
\end{figure}

\xiaoti{直角三角形 $ABC$ 中，已知 $A = 32^\circ20'$， 角 $A$ 的平分线 $AT = 14.7$ cm，
    求直角边 $BC$ 和斜边 $AB$ 的长（保留三个有效数字）。
}


\xiaoti{某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算 $AC$、$BD$ 和 $AB$ 长度（保留三个有效数字）。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-fuxi15-9}
        \caption*{（第 9 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-fuxi15-10}
        \caption*{（第 10 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{缝纫机挑线杆的形状如图，在加工时需要计算 $A$，$C$ 两孔中心的距离。
    已知 $BC = 60.5$ mm， $AB = 15.8$ mm， $\angle ABC = 80^\circ$，
    求 $AC$ 的长（保留三个有效数字）。
}


\xiaoti{已知梯形 $ABCD$ 的上底 $DC = 15.3$ cm， 下底 $AB = 24.2$ cm，
    一腰 $AD = 12.0$ cm， 另一腰 $BC = 11.7$ cm，
    求这梯形的各角与面积（保留三个有效数字）。
}


\xiaoti{已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $12 \, \text{cm}^2$，边长 $a = 6$ cm， $b = 8$ cm，
    求这两边的夹角 $C$， 并画图说明解的情况。
}


\xiaoti{在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 为角 $A$ 的平分线，用正弦定理证明：
    $$ \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} \juhao $$
}



\renewcommand{\mi}{\mathord{\text{m}}}
\xiaoti{如图，$A$，$B$ 两点间有小山和小河，为求 $AB$ 的长，选择一点 $D$，
    使 $AD$ 可直接丈量且 $B$，$D$ 两点可以和互看到，再在 $AD$ 上选一点 $C$,
    使 $B$， $C$ 两点可以看到，已测得：\\[-0.5em]
    \hspace*{10em}
    \begin{tblr}{columns={mode=math}}
        AC = 149.46 \, \mi \douhao   & CD = 52.61 \, \mi \douhao \\
        \angle ADB = 108^\circ15' \douhao & \angle ACB = 120^\circ25' \douhao
    \end{tblr} \\[-0.5em]
    求 $AB$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-fuxi15-14}
        \caption*{（第 15 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-fuxi15-15}
        \caption*{（第 15 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号。我海军舰艇在 $A$ 处茯悉后，
    立即测出该渔轮在方位角为 $45^\circ$，距离为 $10$ 海里的 $C$ 处，
    并测得渔轮正沿方位角为 $105^\circ$ 的方向，以 $9$ 海里/时 的速度向小岛 $B$ 靠拢。
    我海军舰艇立即以 $21$ 海里/时 的速度前去营救。
    求出舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（提示：设舰艇收到信号后 $x$ 小时在 B 处靠拢渔轮）。
}


\xiaoti{用余弦定理证明：平行四边形两对角线平方的和等于四边平方的和。}


\xiaoti{根据三角形面积公式
    $$ S_{\triangle} = \sqrt{s(s - a) (s- b) (s - c)} $$
    $\left( \text{其中} s = \exdfrac{1}{2} (a + b + c) \text{，} a \text{、} b \text{、} c \text{是三角形三边的长} \right)$，
    计算下列各题中的三角形面积 $S_\triangle$：
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$a = 20 \nsep b = 13 \nsep c = 21$；}

    \xxt{$a = 17 \nsep b = 21 \nsep c = 10$。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{enhancedline}
\end{xiaotis}

